Lesehefte Mathematik

Band 2: Spiralen - ein Kapitel phänomenaler Mathematik

Im Gegensatz zur Geraden, die zielstrebiges und kompromissloses Fortschrittsdenken symbolisiert, hat die Spirale etwas faszinierend Verschwenderisches: "Die Engel fliegen in Spiralen, der Teufel nur geradeaus", schrieb Hildegard von Bingen. Dennoch bedeutet die Bewegung längs einer Spirale im Unterschied zum ("Teufels-") Kreis, der für Stagnation steht, ein Vorwärtskommen. Wer der Spirale folgt, dreht sich nicht im Kreise, sondern gelangt langsam aber sicher voran, indem er Bekanntes berücksichtigt und von immer höherem Standpunkt betrachtet. So steht die Spirale als Sinnbild von Wandel und Wiederkehr für zahlreiche Entwicklungsprozesse im Leben - nicht zuletzt das Lernen.

Diesem Buch liegt die Uberzeugung zugrunde, dass die Phänomene bei eingehender Betrachtung fast zwingend zu mathematischen Begriffsbildungen fahren und dass umgekehrt die Betrachtung der Phänomene mit der Sprache und den Mitteln der Mathematik die allgemeine : Erfahrung und das allgemeine Verständnis wesentlich bereichern. Wer die in der Natur beobachteten Phänomene genau beschreibt und interpretiert, wird mehr und intensiver sehen und sich wundern ... 


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Aus dem Inhaltsverzeichnis

            Vorwort

    1 Was sind Spiralen? - Definition und Beispiele

        1.1 Definition
        1.2 Beschreibung in Polarkoordinaten
        1.3 Wichtige Beispiele
            1.3.1 Die archimedische Spirale
            1.3.2 Spiralen höherer Ordnung
            1.3.3 Hyperbolische Spiralen
            1.3.4 Die logarithmische Spirale

    2 Spiralphänomene in Natur, Technik, Kunst und Mystik

        2.1 Spiralen in der belebten und unbelebten Natur
        2.2 Spiralen in der Technik
        2.3 Spiralen in der Kunst
        2.4 Die mystische Bedeutung von Spiralen
        2.5 Das Phänomen und die Mathematik

    3 Spiralen in der Mathematikgeschichte

        3.1 Die archimedische Spirale: Ein bemerkenswerter Anfang
            3.1.1 ARCHIMEDES "Üsber Spiralen"
            3.1.2 Die Methoden des ARCHIMEDES
            3.1.3 Die archimedische Spirale bei PAPPOS
        3.2 Neues (?) nach zwei Jahrtausenden
            3.2.1 VIETE und SOUVEY: Spirale als Quadratrix
            3.2.2 CAVALIERI und GREGORIUS: Spirale aus Indivisibeln
            3.2.3 TORRICELLI und ROBERVAL: Superposition
        3.3 Rektifikation der archimedischen Spirale
            3.3.1 Grundsätzliche Zweifel, ein Irrweg und erste Erfolge
            3.3.2 FERMAT und PASCAL: Spiral- und Parabelbogen
        3.4 Einschub: Spiralen bei DÜRER
        3.5 Die logarithmische Spirale
            3.5.1 DESCARTES und TORRICELLI: Eine neue Kurve
            3.5.2 Die Brüder BERNOULLI
            3.5.3 Jakob BERNOULLI: Die wunderbare Spirale
        3.6 Interessante Einzelheiten
            3.6.1 FERMAT et alii: Spiralen höherer Ordnung
            3.6.2 VARIGNON und Jo. BERNOULLI: Hyperbolische Spiralen
            3.6.3 COLLTNS, GALILEI und NEWTON: Physikalische Fragen
            3.6.4 DESCARTES, NEWTON und PITOT: Zum Kurvenbegriff
            3.6.5 CLAIRAUT: Stetige Spiralkonstruktion
        3.7 Zusammenfassung und Ausblick

    4 Die archimedische Spirale

        4.1 Der kinematische Zugang
            4.1.1 Die Raupe auf der Uhr
            4.1.2 Die Lage der Tangente als Bewegungsrichtung
        4.2 Die "arithmetische" Spirale
            4.2.1 Die arithmetische Folge in Polarkoordinaten
            4.2.2 Die Spirale als Winkelteiler
            4.2.3 Die Spirale als Bewegungsumwandler
        4.3 Diskrete Näherungen der Spiralbahn
            4.3.1 Die unstetige Bewegung
            4.3.2 Krümmungsradius und Tangente
        4.4 Die eingeschlossene Fläche
            4.4.1 Näherung der Fläche durch Kreissektoren
            4.4.2 "Cavalierische Umordnung"
            4.4.3 Wo liegt der Schwerpunkt?
            4.4.4 Fläche aus Linien
        4.5 Die Bogenlänge
            4.5.1 "Näherung" des Bogens durch Kreisbögen
            4.5.2 Gerade machen!
            4.5.3 Spirale und Parabel
        4.6 Exkurs: Die Wurzelspirale
        4.7 Die Spirale als Quadratrix
            4.7.1 Die Tangentenlage nach PAPPOS
            4.7.2 Die Quadratur des Kreises
        4.8 Vom Ab- und Aufwickeln
            4.8.1 Spiralen Zeichnen mit dem Zirkel
            4.8.2 Die Kreisevolvente - eine enge Verwandte
            4.8.3 Die archimedische Spirale als "Wickelkurve"
        4.9 Die Spirale - zwischen Linie und Fläche
            4.9.1 Von Spinnennetz und Kuchenrost
             4.9.2 Wie dick ist Frischhaltefolie?
             4.9.3 Wie lang ist ein "Evergreen"?

    5 Die logarithmische Spirale

        5.1 Die geometrische Spirale
            5.1.1 "Ein ewige Lini"
            5.1.2 Punktweise Konstruierbarkeit und Konvexität
           5.1.3 Die "wohltemperierte" Spirale
        5.2 Die Konstanz des Tangentenwinkels
            5.2.1 Von Motten und Messern
            5.2.2 Der kinematische Zugang
            5.2.3 Ein Grabstein für Jakob BERNOULLI
        5.3 Die Spirale als Rollkurve
            5.3.1 Vom Rollen
            5.3.2 Erstaunliches über die Bogenlänge
            5.3.3 RØMER-Räder
        5.4 Exkurs: Verfolgungskurven
        5.5 Diskrete Näherungen der Spiralbahn
            5.5.1 Polygonzüge
            5.5.2 Goldene Spiralen
        5.6 Eine ganz besondere Kurve
            5.6.1 Vom Drehen und Strecken
            5.6.2 Gerade und Kreis als "entartete" Spiralen
            5.6.3 Die "natürlichste" Kurve der Welt
        5.7 Spiralige Problemlösungen der Natur
            5.7.1 Phyllotaxis
            5.7.2 Was will der Nautilus?
            5.7.3 Exkurs über Gnomone
            5.7.4 Wachstum und Ähnlichkeit
        5.8 Spira mirabilis

    A Anhang

        A.1 "Kurvendiskussion" in Polarkoordinaten
        A.2 Ubersicht über die wichtigsten Spiralen
            A.2.1 Vorbemerkungen
            A.2.2 Archimedische Spirale
            A.2.3 Fermatsche Spirale
            A.2.4 Spirale dritten Grades in 
            A.2.5 Galileische Spirale
            A.2.6 Spirale dritten Grades in 
            A.2.7 Hyperbolische Spirale
            A.2.8 Lituus
            A.2.9 Logarithmische Spirale
        A.3 Computerprogramm zum Verfolgungsproblem

    Literaturverzeichnis

    Index
 


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